Как считать арктангенс вручную

Обратная тригонометрическая функция: Арктангенс (arctg)

Арктангенс (arctg или arctan) – это обратная тригонометрическая функция.

Арктангенс x определяется как функция, обратная к тангенсу x , где x – любое число (x∈ℝ).

Если тангенс угла у равен х (tg y = x), значит арктангенс x равняется y :

Примечание: tg -1 x означает обратный тангенс, а не тангенс в степени -1.

Например:

arctg 1 = tg -1 1 = 45° = π/4 рад

График арктангенса

Функция арктангенса пишется как y = arctg (x) . График в общем виде выглядит следующим образом:

Свойства арктангенса

Ниже в табличном виде представлены основные свойства арктангенса с формулами.

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа с примерами решения

При изучении тригонометрических функций часто возникает вопрос о нахождении значения аргумента, при котором значение функции равно заданному числу.

Нахождение значения аргумента

Например, найдем все значения аргумента, при которых значение функции

На единичной окружности найдем точки ординаты которых равны Этим точкам соответствуют углы и и таких углов бесконечно много. Однако, если рассмотреть промежуток то на нем функция возрастает и принимает все значения от -1 до 1. Поэтому для любого числа из промежутка существует единственное число такое что Так на промежутке существует единственное значение аргумента, при котором значение функции равно — это угол равный ( рис.93)

Определение Арксинуса

Определение:

Арксинусом числа называется угол, принадлежащий промежутку синус которого равен (рис. 94).

Этот угол обозначают Так, поскольку и

Пример №1

Решение:

так как

Пример №2

Найдите значение выражения:

Решение:

так как

(рис. 95, б).

Заметим, что ( рис.95) Так как углы, соответствующие точкам и где с ординатами и отличаются только знаком, то для любого числа (рис. 96).

Пусть тогда
Так как точки имеют противоположные ординаты, то
Поскольку то по определению арксинуса Так как то для любого числа
Воспользуемся полученным равенством и найдем значение выражения

Так как

Отметим, что областью определения выражения является отрезок Если то выражение не имеет смысла.

Например, выражения не имеют смысла, так как
Выражение не имеет смысла, так как
Из определения арксинуса числа следует, что если

Например,

Рассмотрим промежуток на котором функция возрастает и принимает все значения от до 1. Для любого числа из промежутка существует единственное число такое, что

Определение Арккосинуса

Определение:

Арккосинусом числа называется угол, принадлежащий промежутку косинус которого равен (рис. 97).

Этот угол обозначают

Например: поскольку и

Пример №3

Решение:

Пример №4

Найдите значение выражения:

Решение:

так как ( рис. 98.а)

( рис.98.б)

Заметим, что ( см.98)

Пусть Так как точки имеют противоположные абсциссы, то Поскольку то по определению арккосинуса Так как для любого числа (рис. 99).

Воспользуемся полученным равенством и найдем значение выражения

Так как
Областью определения выражения является отрезок Если то выражение не имеет смысла.

Так, выражения не имеют смысла, поскольку

Выражение не имеет смысла, так как
Из определения арккосинуса числа следует, что если и

Например,

На промежутке монотонности функции существует единственный угол, тангенс которого равен некоторому данному числу

Определение Арктангенса

Определение:

Арктангенсом числа называется угол, принадлежащий промежутку тангенс которого равен (рис. 100).

Этот угол обозначают Так, поскольку и

Пример №5

Решение:

так как и

и

Для любого числа верно равенство (рис. 101).

Пример №6

Найдите значение выражения

Решение:

Так как
Из определения арктангенса числа следует, что при

Например,

На промежутке монотонности функции существует единственный угол, котангенс которого равен некоторому данному числу

Определение Арккотангенса

Определение:

Арккотангенсом числа называется угол, принадлежащий промежутку котангенс которого равен (рис. 102).

Этот угол обозначают Например, поскольку

Пример №7

Решение:

так как

Для любого числа верно равенство (рис. 103).

Пример №8

Найдите значение выражения

Решение:

Так как

Из определения арккотангенса числа следует, что если и

Например,

Примеры заданий и их решения

Пример №9

Решение:

а) Верно, так как

б) верно, так как

в) неверно, так как

г) неверно, так как

Пример №10

Решение:

Пример №11

Найдите значение выражения:

Решение:

Пример №12

Оцените значение выражения

Решение:

По определению арктангенса числа

Воспользуемся свойствами числовых неравенств и получим:

Пример №13

Найдите область определения выражения:

Решение:

а) По определению арксинуса числа это угол, синус которого равен

б) По определению арккосинуса числа это угол, косинус которого равен

Пример №14

Найдите значение выражения:

Решение:

Пример №15

Вычислите

Решение:

Пример №16

Найдите значение выражения

Решение:

Воспользуемся формулой при Поскольку то эту формулу сразу применить нельзя.

Так как

Пример №17

Найдите значение выражения

Решение:

Так как при при

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Как считать арктангенс вручную

sin ( — π 2 ) = — 1 , sin ( — π 3 ) = — 3 2 , sin ( — π 4 ) = — 2 2 , sin ( — π 6 ) = — 1 2 , sin 0 = 0 , sin π 6 = 1 2 , sin π 4 = 2 2 , sin π 3 = 3 2 , sin π 2 = 1

cos 0 = 1 , cos π 6 = 3 2 , cos π 4 = 2 2 , cos π 3 = 1 2 , cos π 2 = 0 , cos 2 π 3 = — 1 2 , cos 3 π 4 = — 2 2 , cos 5 π 6 = — 3 2 , cos π = — 1

a r c cos ( — 1 ) = π , arccos ( — 3 2 ) = 5 π 6 , arcocos ( — 2 2 ) = 3 π 4 , arccos — 1 2 = 2 π 3 , arccos 0 = π 2 , arccos 1 2 = π 3 , arccos 2 2 = π 4 , arccos 3 2 = π 6 , arccos 1 = 0

Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений tgx = a, ctgx = a. Формулы преобразования аркфункций

Определение тангенса и котангенса через отношение сторон прямоугольника и с помощью касательной к числовой окружности – см. §3 данного справочника.
Свойства функции y=tgx на всей области определения \(x\in\mathbb\) — см. §6 данного справочника.
Свойства функции y=ctgx на всей области определения \(x\in\mathbb\) — см. §7 данного справочника.
Определение и свойства взаимно обратных функций — см. §2 справочника для 9 класса.

п.1. Понятие арктангенса

В записи \(y=tgx\) аргумент x — это значение угла (в градусах или радианах), функция y – тангенс угла, действительное число в пределах от \(-\infty;\) до \(+\infty\). Т.е., по заданному углу мы находим тангенс.
Можно поставить обратную задачу: по заданному тангенсу найти угол. Но одному значению тангенса соответствует бесконечное количество углов. Например, если \(tgx=1\), то \(x=\frac\pi4+\pi k,\ k\in\mathbb\); если \(tgx=0\), то \(x=\pi k,\ k\in\mathbb\) и т.д.
Поэтому, чтобы построить однозначную обратную функцию, ограничим значения углов x главной ветвью тангенса: \(-\frac\pi2\leq x\leq \frac\pi2\) (правая половина числовой окружности, вся ось тангенсов).

п.2. График и свойства функции y=arctgx

1. Область определения \(x\in\mathbb\) .
2. Функция ограничена сверху и снизу асимптотами \(-\frac\pi2\leq arctgx\leq \frac\pi2\) .
Область значений \(y\in\left(-\frac\pi2; \frac\pi2\right)\)
3. Функция стремится к максимальному значению \(y_=\frac\pi2\ \text<при>\ x\rightarrow +\infty\)
Функция стремится к минимальному значению \(y_=-\frac\pi2\ \text<при>\ x\rightarrow -\infty\)
Функция имеет две горизонтальные асимптоты \(y=\pm\frac\pi2\) .
4. Функция возрастает на всей области определения.
5. Функция непрерывна на всей области определения.
6. Функция нечётная: \(arctg(-x)=-arctg(x)\) .

п.3. Уравнение tgx=a

п.4. Понятие арккотангенса

По аналогии с арктангенсом, арккотангенс определяется на главной ветви котангенса: \(0\lt x\lt \pi\) (верхняя половина числовой окружности, вся ось котангенсов).

п.5. График и свойства функции y=arcctgx

1. Область определения \(x\in\mathbb\) .
2. Функция ограничена сверху и снизу асимптотами \(0\lt arcctgx\lt \pi\) .
Область значений \(y\in(0;\pi)\)
3. Функция стремится к максимальному значению \(y_=\pi\ \text<при>\ x\rightarrow -\infty\)
Функция стремится к минимальному значению \(y_=0\ \text<при>\ x\rightarrow +\infty\)
Функция имеет две горизонтальные асимптоты \(y=0\ \text<и>\ y=\pi\) .
4. Функция убывает на всей области определения.
5. Функция непрерывна на всей области определения.
6. Функция ни чётная, ни нечётная.

п.6. Уравнение ctgx=a

2) \(ctgx=2\)
\(x=arcctg2+\pi k\)
Можно также преобразовать уравнение в \(tg x=\frac<1><2>\)
Получаем ответ: \(x=arctg\frac12+\pi k\)
Очевидно, что \(arcctg 2=arctg\frac<1><2>\) (см. ниже формулы для аркфункций).

п.7. Формулы преобразования аркфункций

arcsin	arccos	arctg	arcctg
sin	\begin a\\ a\in[-1;1] \end	\begin \sqrt<1-a^2>\\ a\in[-1;1] \end	\begin \frac<\sqrt<1+a^2>>\\ a\in\mathbb \end	\begin \frac<1><\sqrt<1+a^2>>\\ a\in\mathbb \end
cos	\begin \sqrt<1-a^2>\\ a\in[-1;1] \end	\begin a\\ a\in[-1;1] \end	\begin \frac<1><\sqrt<1+a^2>>\\ a\in\mathbb \end	\begin \frac<\sqrt<1+a^2>>\\ a\in\mathbb \end
tg	\begin \frac<\sqrt<1-a^2>>\\ a\in(-1;1) \end	\begin \frac<\sqrt<1-a^2>>\\ a\in(-1;0)\cup(0;1) \end	\begin a\\ a\in\mathbb \end	\begin \frac<1>\\ a\ne 0 \end
ctg	\begin \frac<\sqrt<1-a^2>>\\ a\in(-1;0)\cup(0;1) \end	\begin \frac<\sqrt<1-a^2>>\\ a\in(-1;1) \end	\begin \frac<1>\\ a\ne 0 \end	\begin a\\ a\in\mathbb \end

arcsin
arccos	$$ arcsina= \begin arccos\sqrt<1-a^2>,\ 0\leq a\leq 1\\ -arccos\sqrt<1-a^2>,\ -1\leq a\lt 0 \end $$
arctg	$$ arcsina=arctg\frac<\sqrt<1-a^2>>,\ \ -1\lt a\lt 1 $$
arcctg	$$ arcsina= \begin arcctg\frac<\sqrt<1-a^2>>,\ 0\lt a\leq 1\\ -arcctg\frac<\sqrt<1-a^2>>-\pi,\ -1\leq a\lt 0 \end $$

arccos
arcsin	$$ arccosa= \begin arcsin\sqrt<1-a^2>,\ 0\leq a\leq 1\\ \pi-arcsin\sqrt<1-a^2>,\ -1\leq a\lt 0 \end $$
arctg	$$ arccosa= \begin arcctg\frac<\sqrt<1-a^2>>,\ 0\lt a\leq 1\\ \pi+arctg\frac<\sqrt<1-a^2>>,\ -1\leq a\lt 0 \end $$
arcctg	$$ arccosa=arcctg\frac<\sqrt<1-a^2>>,\ \ -1\lt a\lt 1 $$

arctg
arcsin	$$ arctga=arcsin\frac<\sqrt<1+a^2>>,\ \ a\in\mathbb $$
arccos	$$ arctga= \begin arccos\frac<1><\sqrt<1+a^2>>,\ a\geq 0\\ -arccos\frac<1><\sqrt<1+a^2>>,\ a\lt 0 \end $$
arcctg	$$ arctga=arcctg\frac<1>,\ \ a\ne 0 $$

arcctg
arcsin	$$ arcctga= \begin arcsin\frac<1><\sqrt<1+a^2>>,\ a\geq 0\\ \pi-arcsin\frac<1><\sqrt<1+a^2>>,\ a\lt 0 \end $$
arccos	$$ arcctga=arccos\frac<\sqrt<1+a^2>>,\ \ a\in\mathbb $$
arctg	$$ arcctga=arctg\frac<1>,\ \ a\ne 0 $$

п.8. Примеры

Пример 1. Найдите функцию, обратную арктангенсу. Постройте графики арктангенса и найденной функции в одной системе координат.

Для \(y=arctgx\) область определения \(x\in\mathbb\), область значений \(-\frac\pi2\leq y\leq \frac\pi2\).
Обратная функция \(y=tgx\) должна иметь ограниченную область определения \(-\frac\pi2\leq x\leq \frac\pi2\) (главная ветвь) и область значений \(y\in\mathbb\).
Строим графики:

Графики симметричны относительно прямой y=x.
Обратная функция найдена верно.

Пример 2. Решите уравнения:

Пример 3. Вычислите:
a) \(2arccos\left(-\frac12\right)+arctg(-1)+arcsin\frac<\sqrt<2>><2>=2\cdot\frac<2\pi><3>-\frac\pi4+\frac\pi4=\frac<4\pi><3>\)
б) \(arcsin1-arccos\frac<\sqrt<3>><2>-arctg(\sqrt<-3>)=arcsin1-\frac\pi3+\frac\pi3=arcsin1\)
в) \(arctg4+arcsin0-arccos1=arctg4+0-0=arctg4\)
г) \(5-2arccos0+arcsin\frac<\sqrt<2>><2>+3arccos\frac<\sqrt<2>><2>=5-2\cdot\frac\pi2+\frac\pi4+3\cdot\frac\pi4=5\)

Пример 4. Постройте графики функций:
\(a)\ y=arccos\left(\frac<1>\right)+arccos\left(-\frac<1>\right)\)
Сумма арккосинусов \(arccosa+arccos(-a)=\pi\), где \(-1\leq a\leq 1\).
Получаем систему для определения ОДЗ: \begin -1\leq \frac<1>\leq 1\Rightarrow 0\leq \frac<1>+1\leq 2\Rightarrow \begin \frac\geq 0\\ \frac\leq 2 \end \Rightarrow \begin \frac\geq 0\\ \frac<-x+1>\leq 0 \end \Rightarrow \begin \frac\geq 0\\ \frac\geq 0 \end \Rightarrow\\ \Rightarrow \left[ \begin \begin x\gt 0\\ x+1\geq 0\\ x-1\geq 0 \end \\ \begin x\lt 0\\ x+1\leq 0\\ x-1\leq 0 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin x\gt 0\\ x\geq 1 \end \\ \begin x\lt 0\\ x\leq -1 \end \end \right. \Rightarrow x\leq -1\cup x\geq 1 \end Заметим, что используя модуль, тот же результат можно получить значительно быстрей: $$ -1\leq\frac<1>\leq 1\Leftrightarrow |\frac<1>|\leq 1\Leftrightarrow |x|\geq 1 $$ Таким образом, ОДЗ – вся числовая прямая, кроме \(x\notin(-1;1).\) $$ y=arccos\left(\frac<1>\right)+arccos\left(-\frac<1>\right)\Leftrightarrow \begin y=\pi\\ x\notin (-1;1) \end $$ Строим график:

\(б)\ y=arcctg(\sqrt)+arcctg(-\sqrt)\)
Сумма арккотангенсов \(arcctga+arcctg(-a)=\pi\), где \(a\in\mathbb\)
ОДЗ ограничено требованием к подкоренному выражению: \(x\geq 0\)
$$ y=arcctg\left(\sqrt\right)+arcctg\left(-\sqrt\right)\Leftrightarrow \begin y=\pi\\ x\geq 0 \end $$ Строим график:

Пример 5*. Запищите в порядке возрастания:
$$ arctg\left(\frac\pi4\right),\ \ arcsin\left(\frac\pi4\right),\ \ arctg1 $$

Пример 6*. Решите уравнения:

a) \(arccosx=arctgx\)
ОДЗ определяется ограничением для арккосинуса: \(-1\leq x\leq 1\)
Арккосинус ограничен \(0\leq arccosx\leq \pi\), арктангенс \(-\frac\pi2\leq arctgx\lt\frac\pi2\)
Т.к. по условию они равны, ограничение сужается до \(0\leq arctgx\lt \frac\pi2\) и \(0\leq arccos x\lt \frac\pi2\) $$ arccosx=arctgx\Leftrightarrow \begin x=cos(arctgx)\\ -1\leq x\leq 1\\ 0\leq arctgx\lt\frac\pi2\\ 0\leq arccosx\lt\frac\pi2 \end \Leftrightarrow \begin x=cos(arctgx)\\ -1\leq x\leq 1\\ 0\leq x\\ 0\lt x\leq 1 \end \Leftrightarrow \begin x=cos(arctgx)\\ 0\lt x\lt 1 \end $$ Для решения можно воспользоваться готовой формулой для \(cos(arctgx)\).
Выведем её. Пуcть \(arctgx=\varphi\). Тогда \(x=tg\varphi\) и $$ cos(arctgx)=cos\varphi=\sqrt<\frac<1><1+tg^2\varphi>>=\sqrt<\frac<1><1+x^2>> $$ Получаем уравнение: $$ x=\sqrt<\frac<1><1+x^2>>\Rightarrow x^2=\frac<1><1+x^2>\Rightarrow x^2(1+x^2)=1\Rightarrow x^4+x^2-1=0 $$ $$ D=1+4=5,\ \ x^2=\frac<-1\pm\sqrt<5>> <2>$$ Квадрат числа не может быть отрицательным. Остаётся корень \(x^2=\frac<\sqrt<5>-1><2>\)
Откуда \(x=\pm\sqrt<\frac<\sqrt<5>-1><2>>\)
По условию \(0\lt x\lt 1\). Получаем \(x=\sqrt<\frac<\sqrt<5>-1><2>>\)
Ответ: \(\sqrt<\frac<\sqrt<5>-1><2>>\)

б) \(arccos^2x+arcsin^2x=\frac<5\pi^2><36>\)
Используем формулу для суммы: \(arccosx+arcsinx=\frac\pi2\)
Получаем: \begin arccos^2x+\left(\frac\pi2-arccosx\right)^2=\frac<5\pi^2><36>\\ arccos^2x+\frac<\pi^2><4>-\pi arccosx+arccos^2x=\frac<5\pi^2><36>\\ 2arccos^2x-\pi arccosx+\frac<\pi^2><9>=0\\ D=(-\pi)^2-4\cdot 2\cdot \frac<\pi^2><9>=\pi^2-\frac89\pi^2=\frac<\pi^2><9>\\ arccosx=\frac<\pi\pm\frac\pi3><4>\Rightarrow \left[ \begin arccosx_1=\frac\pi6\\ arccosx_2=\frac\pi3 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_1=cos\frac\pi6=\frac<\sqrt<3>><2>\\ x_2=cos\frac\pi3=\frac12 \end \right. \end Ответ: \(\left\<\frac12; \frac<\sqrt<3>><2>\right\>\)

в) \(arcsin\frac<\sqrt<3x+2>><2>=arcctg\sqrt<\frac<2>>\)
ОДЗ определяется ограничением для арксинуса: \( -1\leq \frac<\sqrt<3x+2>><2>\leq 1\)
Арксинус ограничен \(-\frac\pi2\leq arcsin\frac<\sqrt<3x+2>><2>\leq\frac\pi2\), арккотангенс \(0\leq arcctg\sqrt<\frac<2>>\lt\pi\)
Т.к. по условию они равны, ограничение сужается до \(0\leq arcctg\sqrt<\frac<2>>\lt\frac\pi2\) и \(0\leq arcsin\frac<\sqrt<3x+2>><2>\lt\frac\pi2\). \begin arcsin\frac<\sqrt<3x+2>><2>=arcctg\sqrt<\frac<2>>\Leftrightarrow \begin \frac<\sqrt<3x+2>><2>=sin\left(arcctg\sqrt<\frac<2>>\right)\\ -1\leq\frac<\sqrt<3x+2>><2>\leq 1\\ 0\leq arcsin\frac<\sqrt<3x+2>><2>\lt\frac\pi2\\ 0\leq arcctg\sqrt<\frac<2>>\lt\frac\pi2 \end \Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow \begin \frac<\sqrt<3x+2>><2>=sin\left(arcctg\sqrt<\frac<2>>\right)\\ -1\leq\frac<\sqrt<3x+2>><2>\leq 1\\ 0\leq \frac<\sqrt<3x+2>><2>\lt 1\\ 0\leq \sqrt<\frac<2>> \end \Leftrightarrow \begin \frac<\sqrt<3x+2>><2>=sin\left(arcctg\sqrt<\frac<2>>\right)\\ 0\leq \frac<\sqrt<3x+2>><4>\lt 1\\ \frac<4>\geq 0 \end \end Для ОДЗ получаем: $$ \begin 0\leq 3x+2\lt 4\\ x+1\gt 0 \end \Rightarrow \begin -2\leq 3x \lt 2\\ x\gt -1 \end \Rightarrow \begin -\frac23\leq x \lt \frac23\\ x\gt -1 \end \Rightarrow -\frac23\leq x\lt\frac23 $$ ОДЗ: \(-\frac23\leq x\lt \frac23\)
Выведем формулу для синуса арккотангенса.
Пусть \(arcctgx=\varphi \Rightarrow x=ctg\varphi\)
Тогда \(sin(arcctgx)=sin\varphi=\sqrt<\frac<1><1+ctg^2\varphi>>=\sqrt<\frac<1><1+x^2>>\)
Правая часть уравнения: $$ sin\left(arcctg\sqrt<\frac<2>>\right)= \sqrt<\frac<1><1+\left(\sqrt<\frac<2>>\right)>>= \sqrt<\frac<1><1+\frac<2>>>=\sqrt<\frac> $$ Подставляем: \begin \frac<\sqrt<3x+2>><2>=\sqrt<\frac>\Rightarrow \frac<3x+2><4>=\frac\Rightarrow (3x+2)(x+3)=4(x+1)\Rightarrow\\ \Rightarrow 3x^2+11x+6=4x+4\Rightarrow 3x^2+7x+2=0\\ D=49-4\cdot 3\cdot 2=25\\ x=\frac<-7\pm5><6>\Rightarrow \left[ \begin x_1=-2 — \text< не подходит по ОДЗ>\\ x_2=-\frac13 \end \right. \end Ответ: \(-\frac13\)